深い井戸型ポテンシャルに束縛された粒子の固有関数の組で、同じ境界条件を満たす任意の関数を展開することが出来ます。これはフーリエ級数展開と同じです。

係数の求め方は、上式の両辺に左からと掛けて、定義区間であるで積分します。このとき、直行関係式を用います。


右辺はクロネッカーのデルタといいます。との値が等しいときに1を与えます。その他は0です。従って


この関係式を用いると、


ここでは積分記号の左に出してもよろしい。または変数に関係しませんから積分の外に出します。


は1から2､3､･･･と変わってゆきますが、になったとき、は1となりますので、その時だけ値が残ります。


従って、


通常、の代わりにを使って


と書きかえます。の記号が一般的に使われるというだけの理由です。

係数の物理的意味は、もし、任意の状態でエネルギーの期待値を求めると、の確率でエネルギー期待値が出現するということになります。


ここでと係数を積分の外に出し、


という固有値方程式を用いて、演算子を固有値にかえます。演算子は一般的には右側にある関数に作用します。


ここで、先程を求めた式を思い出します。ただし、様子が少し違います。


でしたが、今度は、この式全体の転置共役をとったものが必要になってきます。


関数の順番も転置しています。
この式を用いますと、


の期待値が現れる確率はとなります。